Parametrization

Surface parametrization

energy balance

Die für die Berechnung des Wärmeﬂusses und für das Strahlungsmodell benötigte Oberﬂächentemperatur der Wand wird mit Hilfe der Flussbilanz an der Wandoberﬂäche ermittelt. Dazu werden die vom Strahlungsmodell gelieferten Werte für den direkten und diﬀusen einfallenden Strahlungsﬂuss als konstant angenommen. In die Flussbilanz gehen die direkte und diﬀuse Einstrahlung $(R_{dir},R_{diff})$, der Wärmeﬂuss in die erste Wandzelle $(B)$, der fühlbare oder sensible Wärmeﬂuss in die erste Modellzelle $(S)$, die Infrarotabstrahlung $(I_{out})$ und theoretisch auch die Infraroteinstrahlung von anderen Wandzellen $(I_{in,j})$ und die reﬂektierte kurzwellige Strahlung $(R_{ref,j})$ ein. Bei einer Erweiterung des Modells auf Berechnungen mit Feuchte kommt hier noch der latente Wärmeﬂuss durch Verdunstung beziehungsweise Kondensation hinzu. Die Bilanzgleichung ergibt sich für trockene Rechnungen in dieser Form:
$$R_{dir} + R_{diff} + B + S + I_{out} + \sum_{j=1}^{nBC} (R_{ref,j} + I_{in,j} ) = 0$$
Der Index j läuft dabei über alle anderen an die Geometrie grenzenden Zellen des Modellgebietes. Die direkte Einstrahlung wird, wenn die Zelle im Schatten liegt, auf Null gesetzt. Ansonsten ergibt sich der Energieeintrag aus dem Skalarprodukt des Normalenvektors der Oberﬂäche $(n)$ mit dem Vektor der einfallenden Strahlung $(r)$ multipliziert mit einem Faktor, der die Albedo der Oberﬂäche berücksichtigt. Für die diﬀuse Einstrahlung $(r_{diff})$, die eine skalare Größe ist, wird die Abschattung und der Normalenvektor der Oberﬂäche nicht berücksichtigt. Da die diﬀuse Einstrahlung nur vom Himmel erfolgt, ist es sinnvoll sie noch mit dem Viewfaktor für diese Zelle und dem Himmel zu multiplizieren.
$$R_{dir} = (1-alb) \mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{dir}\\
R_{diff} = (1-alb) V_{sky} r_{diff}$$
Die in Form von Infrarotstrahlung abgegebene Energie wird mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes berechnet. Hierbei ist e die Emissivität. Sie gibt das Verhältnis der abgegebenen Strahlung zu der eines schwarzen Strahlers an. Das negative Vorzeichen zeigt, dass es sich hierbei um Abstrahlung handelt. Die einfallende Infrarotstrahlung ist die gesamte von einer anderen Wandzelle emittierte Strahlung, gewichtet mit dem entsprechendem Viewfaktor $(V_{ij})$.
$$I_{out} = – e \sigma T^4\\
I_{inj} = V_{ij} I_{outj}$$
Analog dazu ergibt sich für die einfallende, von anderen Zellen reﬂektierte, kurzwellige Strahlung eine Funktion der Albedo und dem Viewfaktor zwischen diesen beiden Zellen.
$$R_{ref,j} = (1-alb) \mathbf{n}_j \cdot \mathbf{r}_{dir}$$

heat flux

Der Wärmeﬂuss in die Wand beruht auf Wärmeleitung und kann daher über einen Wärmeleitkoeﬃzienten und den Temperaturgradienten zwischen der Oberﬂäche und der ersten Wandschicht bestimmt werden:
$$B = – \lambda \frac{\partial T}{\partial z} \approx \frac {(T_b-T_s)}{0.5m}$$
Der sensible Wärmeﬂuss in die Luft der ersten Modellzelle hingegen beruht nur auf Wärmeaustausch durch Diﬀusion. Der Wärmeübergang durch Strahlung spielt bei trockener Luft kaum eine Rolle, da diese im Infrarotbereich sehr schlechte Absorptionseigenschaften hat. Die Wärmeleitung innerhalb der Luft ist auf Grund des hohen Wärmeleitwiderstandes der Luft kaum vorhanden, so dass durch die Diﬀusion nur die der Wand nahe gelegenen Luftschichten erwärmt oder gekühlt werden. Erst durch Konvektion innerhalb der Zelle und Turbulenz kommt es zu einem relevanten Wärmeübergang von der Wand in die Luft oder umgekehrt. Somit wird der sensible Wärmeﬂuss aus einem Übergangskoeﬃzienten und der Diﬀerenz der Temperaturen der Oberﬂäche und der Luft bestimmt. Dieser Übergangskoeﬃzient hängt in erster Linie vom konvektiven Transport und damit der Turbulenz in der Zelle ab. Aus dem Turbulenzmodell kann man über die turbulente Wirbelviskosität und der turbulenten Prandtlzahl einen Diﬀussionskoefﬁzienten für den konvektiven Wärmetransport in der Atmosphäre berechnen, allerdings bilden sich in Wandnähe Turbulenzen, die vom Modell nicht aufgelöst werden können, die aber wesentlich zum Wärmeaustausch beitragen. Deshalb ist die Verwendung einer Wandfunktion sinnvoll. Nach [Louka, 2002] und [Sini, 1996] ergibt sich dafür folgende empirische Funktion:
$$S = \rho C_p \frac {{u_*}^2}{u} \frac {T_F-T_W}{Pr_t(1+ \frac {P}{s})}$$
mit dem Jayatilleke-Parameter P:
$$P = 9.24 \left[ \left( \frac {Pr}{Pr_t} \right) ^{3/4}-1 \right] \left[ 1+0.28exp \left( -0.007 \left( \frac {Pr}{Pr_t} \right) ^{3/4} \right) \right]$$
$$s = \frac {1}{k}ln \left( \frac {z}{z_0} \right)$$
$k$, ist hierbei die Karman-Konstante, $z$ der Wandabstand, $T_F$ die Temperatur in der ersten Modellzelle, $T_W$ die Temperatur der Wand und $z_0$ die Rauigkeitslänge.

momentum flux

Um den Wärmeaustausch zwischen der Wand und der ersten Zelle zu charakterisieren, muss man somit die Grenzschicht betrachten. Die Grenzschicht ist in diesem Fall der Übergangsbereich zwischen Wand und Luft und ihre Dicke hängt von der Rauigkeit der Wand und der Geschwindigkeit parallel zur Wand ab. Das Verhalten innerhalb der Grenzschicht wird durch die von der Wand verursachte Reibung auf das Fluid und die inneren
Reibungskräfte, also die Viskosität, bestimmt. Diese Reibung führt dazu, dass sich in Abhängigkeit von der Entfernung ein Geschwindigkeitsproﬁl einstellt, welches durch das universelle, logarithmische Wandgesetz beschrieben wird [Winkler, 1995].
$$\frac{u}{u_*} = \frac {1}{k}ln \left(\frac {u_*z}{\nu}E \right)= \frac {1}{k} \left[ ln \left( \frac {z}{h_r} \right) + ln E + ln \left( \frac {u_*h_r}{\nu} \right) \right]$$
Dabei ist $u_*$ die Schubspannungsgeschwindigkeit, $\nu$ die kinematische Viskosität, $E$ ein rauigkeitsabhängiger Parameter und $h_r$ die geometrische Rauigkeit. $\frac {u_*h_r}{\nu}$ ist auch unter dem Namen Rauigkeitsreynoldszahl $Re_h$ bekannt. Wenn $Re_h < 5$ ist, wird die Wand als hydraulisch glatte Wand bezeichnet und dann ist der Parameter $E \approx 9$. Für raue Wände mit $Re_h > 70$ verschwindet die Abhängigkeit von der Rauigkeitsreynoldszahl und für die letzten beiden Terme gilt die Näherung:
$$lnE + ln \left( \frac {u_*h_r}{\nu} \right) \approx 20$$
Durch Einführen der aerodynamischen Rauigkeit $z_0 \approx \frac {h_r}{20}$, auch als Rauigkeitslänge bezeichnet, kommt man auf die in atmosphärischen Strömungsmodellen meist verwendete Form.
$$\frac{u}{u_*} = ln \left( \frac {z}{z_0} \right)$$
Dieses logarithmische Wandgesetz gilt jedoch nur außerhalb der geometrischen Rauigkeit, also für $z > h_r$. Die noch fehlende Schubspannungsgeschwindigkeit kann nun aus der Geschwindigkeit in der Zelle und dem Abstand $z$ zur Wand berechnet werden:
$$u_* = \frac {u}{\frac {1}{k} ln(\frac {z}{z_0})}$$
Bei absolut ruhiger Atmosphäre kann mit dieser Methode kein Wärmeaustausch zwischen Wand und Luft stattﬁnden, was auch in der Realität zu beobachten ist, so können beispielsweise metallische Flächen im Winter sehr stark auskühlen und tiefere Temperaturen erreichen als die Umgebungsluft. Wenn jedoch der Boden oder die Wände von der Sonne geheizt werden, entstehen in der Realität thermisch induzierte Turbulenzen, die im Modell nicht berücksichtigt werden, da eine instabile Schichtung bei der verwendeten Turbulenzmodellierung mit Richardsonzahl die Produktion von Turbulenz nur verstärkt, aber nicht induziert. Daher ist für solche Rechnungen die Vorgabe eines minimalen Austauschkoeﬃzienten sinnvoll.